기준일을 100으로 놓고 그린 선입니다. 통화가 서로 달라 지수로 겹쳤습니다.
로봇 팔은 코사인 법칙을 안다
모래알은 방정식을 몰랐지만, 로봇 팔은 압니다. 이 무인 공장 라인에서 팔들은 손끝이 가야 할 위치에서 관절 각도를 역산하고(역기구학), 움직이는 상자의 미래 위치를 조준하고(예측 요격), 서로 일감을 나눠 갖습니다(작업 할당). 벨트 속도를 올려 보세요. 어느 순간부터 팔들이 못 따라가고 상자가 바닥으로 쏟아집니다. 그게 이 공장의 처리량 한계입니다.
라인 제어
팔이 푸는 수학
조준점 = x상자 + v벨트 · (거리 / v팔) 지금 위치가 아니라 도착할 때의 위치를 노린다(예측 요격).
처리량 ≤ min(투입률, 팔 수 / 사이클타임) 대기행렬의 병목 법칙. 슬라이더로 직접 넘겨볼 수 있는 한계.
공장의 두뇌 · 4가지
역기구학
팔은 각도를 정하지 않습니다. 손끝이 가야 할 좌표를 정하면 어깨·팔꿈치 각도가 코사인 법칙에서 역산됩니다. 산업용 로봇 팔이 실제로 매 순간 푸는 계산입니다.
d = |목표 − 어깨| cosθ₂ = (d²−L₁²−L₂²)/(2L₁L₂) θ₁ = atan2(dy,dx) − atan2(L₂sinθ₂, L₁+L₂cosθ₂)
예측 요격
상자는 벨트를 타고 계속 움직입니다. 지금 위치를 잡으러 가면 늦습니다. 팔이 도착하는 데 걸릴 시간을 계산해 그때의 상자 위치를 조준합니다. 미사일 유도와 같은 원리입니다.
eta = dist(손끝, 상자) / v팔
조준.x = 상자.x + v벨트 * eta
// 목표가 움직이면 미래를 노린다
상태기계와 작업 할당
팔 하나하나가 대기→조준→운반→걸이→복귀 5상태 기계입니다. 일감은 라인 끝에 가장 가까운(=가장 급한) 상자부터, 요격 가능한 팔에게 배정되고 중복 청구는 없습니다.
IDLE → REACH → CARRY
→ PLACE(빈 훅 대기) → RETURN
// 급한 상자부터, 하류 팔부터
병목의 법칙
팔 하나의 사이클타임이 약 2초면 팔 3개의 이론 한계는 분당 약 90개. 투입이 그보다 빠르면 초과분은 전부 구덩이로 갑니다. 공장·서버·톨게이트·은행 창구가 전부 이 수식 하나로 무너지고 살아납니다.
λ(투입) > μ(처리) 인 순간
대기열은 무한히 자란다
// 슬라이더로 재현해 보세요
진짜 물리 시리즈
팔이 각도를 푸는 것을 본다
로봇에게 “저기를 짚어라”라고 하면, 팔은 관절 각도를 역으로 풀어야 합니다. 두 마디 팔이면 답은 코사인 법칙 한 줄입니다 — 아래에서 그 각도가 매 프레임 다시 계산됩니다.
닿을 수 있는 범위 밖이면 답이 없습니다 — 팔은 그쪽으로 쭉 뻗은 채 멈춥니다. 그게 작업 반경이 정해지는 방식입니다.
각도가 두 벌 나오는 것도 보입니다 — 팔꿈치를 위로 꺾어도, 아래로 꺾어도 같은 점에 닿습니다. 실제 로봇은 그중 부딪히지 않는 쪽을 고릅니다.
마디 길이와 작업대는 원리를 보이기 위한 것입니다. 각도는 코사인 법칙으로 매 프레임 실제로 풉니다.
실물은 이렇게 생겼다
위 화면의 팔은 목표 지점을 주면 관절 각도를 역으로 계산해 찾아갑니다. 진짜 산업용 로봇 팔은 이렇게 생겼습니다.
① 관절이 몇 개인지 세어 보라
바닥에 볼트로 고정된 밑동이 돌고, 그 위로 어깨, 팔꿈치, 그리고 끝에 손목이 붙어 있습니다. 마디마다 검은 모터 뭉치가 달려 있고 주황색 나선 케이블이 팔을 따라 감겨 올라갑니다.
이 판의 제목이 여기서 나옵니다 — 팔 길이 두 개와 목표까지의 거리를 알면 코사인 법칙으로 팔꿈치 각도가 나옵니다. 사람이 각도를 하나하나 지정하는 게 아니라 ‘저기를 집어라’만 주면 각도는 계산으로 풉니다. 그게 역기구학입니다.
그리고 답이 둘일 때가 있습니다 — 팔꿈치를 위로 꺾어도, 아래로 꺾어도 손끝은 같은 자리에 갑니다. 사진의 팔이 지금 어느 쪽으로 꺾여 있는지 보시면 위 화면에서 왜 그 선택이 생기는지 감이 옵니다.