약하게 잡기 · a = 0.10
바람은 잘 지나가는데, 뽑아내는 게 적다.
Navier·Stokes 유동 · 베츠 한계는 운동량 이론으로 유도
바람을 다 가져갈 수 없는 이유
풍력 터빈이 바람의 에너지를 100% 뽑으면 어떻게 될까요 — 날개 뒤 공기가 완전히 멈춰야 합니다. 그런데 멈춘 공기는 비켜주지 않으니 뒤에서 오는 바람이 막힙니다. 그래서 최대치는 100%가 아니라 16/27 = 59.3%에서 끊깁니다(베츠, 1919). 아래는 그 이야기를 유체 방정식으로 실제로 푼 화면입니다 — 날개를 세게 잡을수록 지나가던 바람이 옆으로 피하는 것이 눈에 보입니다.
바람 안쪽 드래그 = 흐름 젓기
발전 데스크
유도계수 a (실측)
출력계수 Cp (실측)
베츠 한계
날개 뒤 속도
발전량 (지름 120m★·정격 미적용)
바람이 2배면
유도계수 a = 날개 앞에서 바람이 이미 얼마나 느려졌나(1 − 날개속도/자유속도).
Cp = 4a(1−a)² 는 운동량 이론의 정확식이고, 화면의 Cp는 시뮬레이션이
실제로 잰 값이다 — 두 곡선을 아래에서 겹쳐 보여준다.
그 날개가 실제로 어떤 모양이고, 어디서 힘을 뽑나끌어서 돌려보세요
↔ 끌어서 돌리기 — 밝은 쪽이 힘을 뽑는 쪽입니다
★바깥 30%가 뽑는 몫
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이 바람에서 나오는 출력
—
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—
풀고 있는 방정식
P = ½ ρ A v³ · Cp
바람이 가진 힘은 속도의 세제곱에 비례한다. 바람이 2배면 에너지는 8배 —
풍력 발전소 자리를 고를 때 평균 풍속 1m/s 차이에 목을 매는 이유다.
Cp는 그중 실제로 뽑아낸 비율.
Cp(a) = 4a(1−a)² → 최대 a = 1/3 에서 16/27 = 59.3%
베츠 한계. 유도계수 a는 날개 자리에서 바람이 얼마나 느려졌는지다.
너무 약하게 잡으면(a→0) 뽑는 게 없고, 너무 세게 잡으면(a→1) 공기가 아예 안 지나가서
역시 0이 된다. 중간이 최대인 이 곡선을 이 페이지가 직접 그린다.
날개 뒤 속도 = (1−2a)·v · 날개 자리 속도 = (1−a)·v
운동량 보존이 강제하는 관계 — 날개에서 절반, 뒤에서 나머지 절반이 느려진다.
a=1/3이면 뒤쪽은 원래 속도의 1/3. a가 0.5를 넘으면 뒤 속도가 음수가 되는데,
그건 이 이론이 더는 성립하지 않는다는 뜻이다(실제로는 난류 후류 상태).
∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p/ρ + ν∇²u , ∇·u = 0
화면의 바람은 이 나비에·스토크스를 격자에서 푼 것이다.
날개는 그 자리에 운동량을 빼는 항으로 들어간다 — 날개 모양을 그린 게 아니라
"여기서 바람이 힘을 잃는다"만 넣었는데도 흐름이 옆으로 비켜 가는 모습이 저절로 나온다.
여섯 가지 궁금증
1
왜 100%가 안 되나
다 가져가려면 지나간 공기가 멈춰야 한다. 그런데 멈춘 공기는 뒤에서 오는 바람의 길을 막는다. 결국 "얼마나 느리게 만들 것인가"의 줄다리기고, 그 최적이 3분의 1만큼 느리게다.
2
바람은 날개를 피해 간다
세게 잡을수록 앞쪽 공기가 미리 옆으로 벌어진다(유선관 팽창). 화면에서 잡는 세기를 올리면 흐름이 날개를 우회하는 게 보인다 — 잡을수록 통과하는 공기가 줄어든다는 뜻이다.
3
실물은 얼마나 뽑나
상용 대형 터빈의 최고 Cp는 0.45~0.50★ 수준이다. 베츠 한계의 80% 남짓 — 나머지는 날개 항력, 회전 후류, 발전기 손실로 샌다. 광고의 "효율"이 59.3%를 넘는다면 분모가 다른 것이다.
4
세제곱의 잔인함
바람이 2배면 에너지는 8배. 반대로 바람이 20% 약한 자리면 에너지는 절반 가까이 준다. 같은 터빈이라도 어디 세우느냐가 절반 이상을 결정한다.
5
날개가 커지는 이유
면적 A는 지름의 제곱이다. 지름을 2배로 하면 바람을 4배 받는다. 해상풍력 날개가 100m를 넘어 계속 커지는 건 이 제곱 때문이고, 커질수록 더 높은 곳의 빠른 바람을 쓰는 이득도 함께 따라온다.
6
뒤에 세우면 안 되는 이유
날개 뒤에는 느려지고 흐트러진 후류가 길게 남는다. 화면의 소용돌이가 그것이다. 단지 안에서 터빈을 촘촘히 세우면 뒷줄이 앞줄의 후류를 먹는다 — 배치 간격이 발전량을 직접 깎는 설계 변수인 이유다.
두 운전 나란히 — 같은 바람, 잡는 세기만 다름
세게 잡기 · a = 0.70
많이 잡을수록 바람이 옆으로 새 버린다.
두 칸은 운동량 이론의 정확식으로 계산한 것입니다 — 같은 바람에서 잡는 세기만 다르게 두고, 지나가는 공기가 얼마나 느려지는지와 그때 뽑히는 출력을 함께 그립니다. 양쪽 다 최적(a=1/3)보다 못하다는 게 이 비교의 요점입니다 — 덜 잡아도, 더 잡아도 손해입니다.
실물은 이렇게 생겼다
위 로터는 제가 계산해서 구운 모형입니다. 그 축이 들어가는 곳, 그러니까 날개 뒤의 방은 실제로 이렇게 생겼습니다 — 라이선스가 확인되는 사진만 가져왔습니다.
① 날개 뒤에는 방이 하나 있다
날개가 붙은 통(나셀) 안입니다. 촬영자가 이 나셀의 제원을 같이 적어 뒀는데 — 무게 약 82톤★, 3.8 m × 3.77 m × 2.8 m★입니다. 승합차만 한 방에 82톤을 담아 탑 꼭대기에 얹어 놓은 것입니다.
안에는 발전기·증속기(기어박스)·구동부·브레이크가 들어갑니다★. 오른쪽 뒤 팬이 달린 청록색 덩어리가 공랭식 발전기고, 왼쪽 큰 하우징이 축과 물린 구동부입니다. 벽에 손글씨로 기름 갈아준 날짜가 적혀 있는 게 보입니다 — 굴러가는 기계라는 뜻입니다.
여기가 왜 이렇게 빽빽하냐면, 위에서 계산한 것처럼 지름 120 m 로터가 12 rpm으로 아주 느리게 돌기 때문입니다. 그 느린 회전을 전기로 바꾸려면 이만한 쇳덩이가 필요합니다. 같은 12 rpm에서 날개 끝은 271 km/h로 달리고요 — 가운데는 느리고 끝만 빠른 게 이 판의 요점입니다.
사진 Lauri Veerde · CC BY-SA 4.0 ·
위키미디어 커먼즈
② 사람이 들어가는 방이다
같은 방을 반대편에서 본 것입니다. 안전모와 하네스를 착용한 사람이 서 있고, 천장 레일에 600 kg이라고 적혀 있습니다 — 부품을 들어 올리는 호이스트입니다.
가운데 바닥이 뚫려 있는 것이 보이실 겁니다. 그 구멍 아래로 초록색이 보이는데 그게 지상입니다. 사람은 저 탑 안을 사다리로 올라와 이 방에 들어옵니다. 옆에 구급함과 배전반이 붙어 있는 이유이기도 하고요.
위 손잡이를 움직이면 바깥 30%가 출력의 54%, 바깥 절반이 80%라고 나옵니다. 그 숫자를 이 사진과 겹쳐 보면 왜 날개를 계속 길게 만드는지가 분명해집니다 — 길이를 늘리면 새로 붙는 건 전부 가장 잘 뽑는 바깥쪽인데, 이 방은 그대로여도 됩니다.
사진 Lauri Veerde · CC BY-SA 4.0 ·
위키미디어 커먼즈
이 화면은 이 네 종목 이야기입니다● 시세 불러오는 중
기준일을 100으로 놓고 그린 선입니다. 통화가 서로 달라 지수로 겹쳤습니다.
같은 기술의 서로 다른 칸입니다. 주가가 이 기술 때문이라고는 말하지 않습니다.