GPS — 틀린 시계로 정확한 위치를 푸는 기계

위성이 방송한다

위성은 자기 위치와 자기 시각만 뿌린다. 내가 누군지, 몇 명이 듣는지 모른다. 그래서 GPS는 수신자가 몇억 명이어도 용량 문제가 없다.

s = satPos(i)              // 방송된 위성 좌표
d = |x_true − s|           // 전파가 실제로 간 거리

거리에 오차가 얹힌다

폰이 재는 건 순수한 거리가 아니라 거리 + 내 시계 오차 + 대기 지연이다. 그래서 이름이 '거리'가 아니라 의사(pseudo)거리다.

drift = REL ? 0             // 보정 ON
      : NET*1e-6*ecc[i]*day*C  // OFF: 위성마다 다르게
rho[i] = d + drift + noise

야코비 — 어느 쪽으로 밀까

지금 추정 위치에서 각 위성을 바라보는 단위벡터를 세운다. 이게 "이쪽으로 1m 가면 그 위성까지 1m 멀어진다"는 지도다. 마지막 칸 1은 시계 몫.

J = [dx/d, dy/d, 1]
r = d + b − rho[i]         // 지금 얼마나 어긋났나

정규방정식 3×3

위성이 몇 개든 3×3 행렬 하나로 압축된다(3차원 실물은 4×4). 가우스 소거로 풀면 위치 보정과 시계 보정이 한꺼번에 나온다.

A += Jᵀ·J ;  g += Jᵀ·r
Δ = solve3(A, g)           // [dx, dy, db]

12번 접근

보정량만큼 옮기고 다시 잰다. 몇 번이면 밀리미터 아래로 붙는다 — 잡음이 0이면 이 페이지의 검증기가 오차 0.000m를 확인한다.

for (it = 0; it < 12; it++) {
  x −= Δ[0]; y −= Δ[1]; b −= Δ[2];
}

덤으로 얻는 시계

풀고 나면 위치뿐 아니라 b(내 시계가 얼마나 틀렸는지)도 손에 쥔다. 이것이 GPS가 전세계 시각 동기화의 뼈대인 이유다 — 증권거래소도 기지국도 이 b를 쓴다.

내 시계 오차 = b / c        // 초 단위

위성은 시각을 방송한다

GPS 위성 신호의 내용물은 "나는 여기 있고, 지금은 이 시각"이 전부다. 폰은 그 전파가 늦게 도착한 만큼(빛은 1나노초에 30cm) 거리를 재고, 여러 위성의 거리 구슬을 교차시켜 나를 찾는다. 위성엔 원자시계가 실려 있다 — 이 기계 전체가 시계 장사다.

폰 시계는 싸구려인데 왜 되나

수신기 시계 오차를 미지수 b로 승격시키고 위성을 하나 더 받는다. 2차원 화면에선 (x, y, b) 세 미지수라 위성 3개★, 실제 3차원에선 4개다. 그래서 GPS는 위치와 함께 원자시계급 시각을 공짜로 뱉는다 — 증권거래소·기지국이 GPS로 시간을 맞추는 이유.

아인슈타인이 내비 안에 있다

위성 시계는 빨라서 느려지고(특수상대성 −7μs/일) 높아서 빨라진다(일반상대성 +46μs/일) — 합계 +38μs/일. 보정 없이는 거리 오차가 하루 11.5km씩 자란다. 위 버튼으로 꺼보라 — 초록 점이 진짜 위치에서 흘러 떠내려간다.

전부 똑같이 틀리면 GPS는 눈치 못 챈다

반전 하나 — 모든 위성이 정확히 같은 양만큼 틀리면, 그 오차는 폰의 시계 미지수 b가 통째로 흡수해서 위치는 멀쩡하다. 진짜 문제는 위성마다 궤도가 달라 서로 다르게 틀리는 것★ — 그 어긋남은 어디로도 숨을 수 없어 위치를 민다. 오차의 세계에선 '함께 틀림'보다 '다르게 틀림'이 치명적이다.

위성이 몰려 있으면 부정확하다

거리 구슬이 비스듬히 교차하면 교점이 길게 늘어난다 — 측량의 DOP(기하 희석). 위성 수를 줄여보면 오차 타원이 늘어나는 게 보인다. 도심 빌딩숲에서 GPS가 튀는 건 하늘이 좁아 위성이 한쪽에 몰리기 때문이기도 하다.

요즘 폰의 "이중주파수 GPS"

남은 큰 오차는 전리층이 전파를 늦추는 것 — 늦어지는 정도가 주파수마다 달라서, L1·L5 두 주파수로 같은 위성을 재면 지연을 역산해 지울 수 있다. 퀄컴·브로드컴·유블럭스 칩이 하는 일이고, 폰 스펙의 '이중주파수 GPS'가 이것이다. 오차 미터급 → 수십cm급★.